Група учени откриват, че в нереципрочни системи, където Третият закон на Нютон не се изпълнява, фазовите преходи на материята се контролират от сингулярности - точки, в които две характеристики на системата се сливат, ставайки математически неразличими. Откритието може да доведе до появата на нов математически апарат.

Третият закон на Нютон гласи, че за всяко действие има равно и противоположно противодействие. 400 години този закон обяснява защо не падаме през пода (подът също ни натиска нагоре) и защо гребането на лодка я кара да се плъзга по водата. Когато една система е в равновесие, енергия не влиза и не излиза и това равновесие е правило.

Математически тези системи са елегантно описани от статистическата механика, клон на физиката, който обяснява как се държат съвкупностите от обекти. Това позволява на изследователите да моделират напълно условията, които пораждат фазови преходи на материята, когато едно състояние на материята се трансформира в друго, като например когато водата замръзва.

Но много системи съществуват и продължават да съществуват далеч от равновесие. Може би най-яркият пример е самият живот. Нашият метаболизъм, който превръща материята в енергия, ни държи извън равновесие. Човешко тяло, което е в равновесие, е мъртвото тяло.

В живите системи думите "равно и противоположно" от третият закон на Нютон не са актуални.

„Представете си две частици“, разказва Винченцо Вители (Vincenzo Vitelli), теоретик на кондензираната материя от Чикагския университет, „където А взаимодейства с B по различен начин от начина, по който В взаимодейства с А“.

Такива нереципрочни връзки се проявяват в системи като невронни мрежи и частици във течности и дори, в по-голям мащаб, в социалните групи. Хищниците изяждат плячка например, но плячката не яде своите хищници.

За тези неуправляеми системи статистическата механика не успява да формулира фазовите преходи. Извън равновесието доминира нереципрочността. Ятата птици показват колко лесно се нарушава законът: тъй като не виждат зад себе си, птиците променят траекторията си на полета, ориентирайки се по птиците пред тях. Така че птица А не взаимодейства с птица B по същия начин, по който птица B взаимодейства с птица А - това е нереципрочно поведение. Автомобилите, които се движат по магистрала или са заседнали в трафик, са по подобен начин нереципрочни.

Инженери и физици, които работят с метаматериали - чиито свойства се определят от структурата, а не от състава на веществото - използват нереципрочни елементи за проектиране на акустични, квантови и механични устройства.

Много от тези системи са извън равновесие, тъй като отделните компоненти имат свой собствен източник на енергия - АТФ за клетките, гориво за автомобилите. Но всички тези допълнителни източници на енергия и несъвпадащи реакции създават сложна динамична система извън обсега на статистическата механика. Как можем да анализираме фазите в такива постоянно променящи се системи?

Вители и колегите му виждат отговор в т.нар. особени точки - математически обекти, обикновено наричани сингулярности. Това е точка, където две или повече характерни свойства стават неразличими и математически се сливат в едно. В особена точка  математическото поведение на системата се различава драстично от поведението й в близките точки и особени точки често описват любопитни явления в системите например лазери, които непрекъснато приемат и излъчват енергия.

Сега екипът установява, че в нереципрочните системи сингулярностите управляват фазовите преходи. Физиците и математиците изучават особените точки в продължение на десетилетия при различни условия, но никога не са ги свързвали с този тип фазов преход.

 „Никой преди не е мислил да използва сингулярностите в контекста на неравновесни системи“, коментира физикът Синтия Райххард (Cynthia Reichhardt ) от Националната лаборатория в Лос Аламос в Ню Мексико. 

Новата работа също така създава връзки между редица области и явления, които от години изглеждаше, че нямат връзка помежду си.

Когато се наруши симетрията

Работата започва не с птици или неврони, а с квантови странности. Преди няколко години двама от авторите на новата статия - Рьо Ханай (Ryo Hanai), постдокторант в Чикагския университет, и Питър Литълууд (Peter Littlewood), научен ръководител на Ханай - изследват един вид квазичастица, наречена поляритон.

Квазичастицата всъщност не е частица сама по себе си. Тя е съвкупност от квантови поведения, които заедно изглеждат така, сякаш става въпрос за частица. Поляритон се появява, когато фотоните (частиците на светлината) се съединяват с екситони (които също са квазичастици). Поляритоните имат изключително ниска маса, което означава, че могат да се движат много бързо и да образуват състояние на материята, наречено Бозе-Айнщайнов кондензат (BEC - Bose-Einstein condensate) при по-високи температури от другите частици.

Докато е във фазата на BEC, самата материя започва да се държи като един голям атом, което я прави особено привлекателна тема за квантовите физици, които се интересуват от механиката на субатомните частици.

При температури близо до абсолютната нула, атомите са в най-ниското си енергийно ниво. При тези температури квантово-механични ефекти стават забележими. В резултат на вероятностното им позициониране, атомите ще са като размити топки. С понижаване на температурата, топките все повече ще се размиват и ще стават все по-малко определени. Атомите ще са едновременно на едно и също място (за разлика от фермионите с полуцял спин, подчиняващи се на принципа на Паули) и всеки от тях ще "се размазва" по цялата област на пространството. Тогава атомите ще загубят своята индивидуална идентичност - всички те ще имат едно и също квантово състояние и ще се обединят в един-единствен "супер атом". Кредит: По идея на a-level physics tutor

Но използването на поляритони за създаване на Бозе-Айнщайнов кондензат е сложно. Фотоните непрекъснато напускат системата, което означава, че за да се компенсира загубата, трябва непрекъснато в системата да постъпва светлина. Това означава, че е извън равновесие.

„От теоретична страна именно това бе интересното за нас“, коментира Ханай.

За Ханай и Литълуд това е аналогично на създаването на лазери.

„Фотоните изтичат през цялото време, но въпреки това поддържаме някакво кохерентно състояние“, разказва Литълуд.

Това се дължи на постоянното добавяне на нова енергия, захранваща лазера. Учените искат да разберат как нарушението на равновесието влияе на прехода към Бозе-Айнщайнов кондензат или други екзотични квантови състояния на материята? И по-специално, как тази промяна се отразява на симетрията на системата?

Концепцията за симетрия е в основата на фазовите преходи. Течностите и газовете се считат за силно симетрични, защото ако сте с размер на молекула в газовата струя, частиците ще изглеждат еднакво във всички посоки. Но ако полетите на кораб през кристал или друго твърдо вещество и ще видите, че молекулите заемат прави редове, като моделите, които виждате, се определят от това къде се намирате. Когато материалът преминава от течност или газ в твърдо вещество, изследователите казват, че неговата симетрия се „нарушава“.

Във физиката един от най-добре проучените фазови преходи се проявява в магнитните материали. Всеки от атомите в магнитен материал като желязо или никел има т. нар. магнитен момент, което по същество е малко идинично магнитно поле. В магнитите всички тези магнитни моменти сочат в една и съща посока и заедно създават магнитно поле. Но ако нагреете материала достатъчно - дори със свещ - тези магнитни моменти се смесват. Някои сочат една посока, а други - друга. Общото магнитно поле се губи и симетрията се възстановява. Когато се охлади, моментите отново се подравняват, нарушавайки тази симетрия и магнетизмът се възстановява.

Птичето ято може да се разглежда и като нарушаване на симетрията: вместо да летят в произволни посоки, те се подравняват като посоките в магнит. Но има важна разлика: феромагнитният фазов преход се обяснява лесно с помощта на статистическа механика, тъй като това е система в равновесие.

Но птиците - и клетките, бактериите и колите в трафика - добавят нова енергия към системата.

„Тъй като имат източник на вътрешна енергия, те се държат по друг начин“, отбелязва Райххард. "И тъй като при тях няма запазване на енергията, тя се появява от нищото, що се отнася до системата."

Отвъд кванта

Ханай и Литълуд започват своето изследване на фазовите преходи в Бозе-Айнщайнов кондензат, мислейки за обикновени, добре познати фазови преходи. Например водата - въпреки че течната вода и пара изглеждат различно, по принцип няма разлика в симетрията между тях. От математическа гледна точки в точката на прехода двете състояния са неразличими. В равновесна система точката на прехода се нарича критична точка.

Критични явления се проявяват навсякъде - в космологията, физиката на високите енергии, дори в биологичните системи. Но във всички тези примери изследователите не могат да намерят добър модел за кондензатите, които се образуват, когато квантовомеханичните системи са свързани с околната среда с постоянно изтичане и постъпване на енергия.

Ханай и Литълууд предполагат, че критичните и особените точки трябва да имат някои важни общи свойства, дори ако очевидно произлизат от различни механизми.

„Критичните точки са нещо като интересна математическа абстракция“, коментира Литълуд, „където разликата между тези две фази не може да се разберете. Точно същото нещо се случва в тези поляритонни системи".

Учените също така си изясняват, че и лазерът - технически той е също състояние на материята - и поляритон-екситоннния Бозе-Айнщайнов кондензат имат едни и същи основни уравнения. В статия, публикувана през 2019 г., изследователите предлагат нов и най-важното, универсален механизъм, чрез който особените точки водят до фазови преходи в квантовите динамични системи.

„Смятаме, че това е първото обяснение за тези преходи“, заявяваа Ханай.

Приблизително по същото време Ханай осъзнава, че въпреки че изучават квантово състояние на материята, техните уравнения не зависят от квантовата механика. Дали явлението, което изучават, се отнася и за още по-големи и по-общи явления?

"Започнахме да подозираме, че тази идея [връзката фазов преход и сингулярност] може да се приложи и към класическите системи."

Но за да изследват тази идея, се обръщат за помощ към Вители и Мишел Фрушарт (Michel Fruchart), постдокторант в лабораторията на Вители, които изучават необичайни симетрии в класическата област. Тяхната работа се простира до метаматериалите, при които има много нереципрочни взаимодействия. Те могат например могат да проявяват различни реакции при натиск от една или друга страна, а също и сингулярност.

Вители и Фрушарт веднага са заинтригувани. Дали в поляритонния кондензат действа някакъв универсален принцип, някакъв фундаментален закон за системите, при които енергията не се запазва?

Синхронизация

Сега четиримата изследователи започват да търсят общи принципи, които подкрепят връзката между нереципрочността и фазовите преходи. За Вители това означава да мисли с ръцете си. Той има навика да изгражда физико-механични системи, за да илюстрира трудни, абстрактни явления. В миналото, например, той е използвал Lego за изграждане на решетки, които се превръщат в топологични материали, които се движат по различен начин по ръбовете и във вътрешността.

„Въпреки че това, за което говорим, е теоретично, може да го демонстрираме с играчки“, твърди Вителли.

Но за особените точки според него „Легото не е достатъчно“. Той решава, че би било по-лесно да се моделират нереципрочни системи, като се използват елементи от строителен конструктор, които могат да се движат сами, но се управляват от нереципрочни правила за взаимодействие.

Така екипът създава армия от малки симпатични двуколесни роботи, програмирани да се държат нереципрочно. Екипът програмира всички с определени цветно кодирани поведения. Червените ще се подравнят с други червени, а сините с други сини. Но ето и нереципрочността: червените ще се ориентират в същите посоки като сините, докато сините ще сочат в обратната посока на червените. Това гарантира, че нито един агент никога няма да успеe да го изпълни.

Всеки робот е програмиран да се подравнява с другите от същия цвят, но те също така са програмирани да се държат нереципрочно: червените искат да се подравнят със сините, докато сините искат да сочат в обратната посока. Резултатът е спонтанен фазов преход, тъй като всичките започват да се въртят на място. Кредит: doi.org/10.1038/s41586-021-03375-9

Екипът пръска роботите по пода и включва всички едновременно. Почти веднага се появява модел. Роботите започват да се движат, въртейки се бавно, но едновременно, докато всички се завъртат, основно на място, в една и съща посока. Ротацията не е вградена в роботите, коментира Вители. „Това се дължи на всички тези досадни взаимодействия. Те постоянно са обезсърчени в своите движения."

Изкушаващо е да оставим армията от въртящи се роботи да засенчи основната теория, но тези ротации точно демонстрират фазов преход за система извън равновесие. А нарушаването на симетрията, което те демонстрират, се съгласува математически със същия феномен, който Ханай и Литълууд откриват, когато разглеждат екзотичните квантови кондензати.

За да проучат по-добре това сравнение, изследователите се обръщат към математическата област на теорията на бифуркацията. Бифуркацията е качествена промяна в поведението на динамична система, често приемаща формата на едно състояние, което се разделя на две.

Изследователите също така създават симулации на две групи агенти, движещи се с постоянна скорост с различни взаимоотношения помежду си. Вляво двете групи се движат на случаен принцип. В следващия прозорец сините и червените агенти летят в една и съща посока, спонтанно нарушавайки симетрията и показвайки поведение на ято. Когато двете групи летят в противоположни посоки, настъпва аналогична анти-ято фаза. В нереципрочна ситуация, най-вдясно, се появява нова фаза, където те вървят в кръг - друг случай на спонтанно нарушаване на симетрия. Кредит: doi.org/10.1038/s41586-021-03375-9

Математиците рисуват бифуркационни диаграми (най-простият вид може да видите по-долу), за да анализират как състоянията на системата реагират на измененията на параметрите. Често бифуркацията разделя стабилността от нестабилността, разделя различни типове стабилни състояния.

Това е полезно при изучаване на системи, свързани с математически хаос, когато малки промени в началната точка (един параметър в началото) могат да предизвикат големи промени в резултатите. Системата преминава от нехаотично към хаотично поведение през каскада от точки на бифуркация. Бифуркациите имат дългогодишна връзка с фазовите преходи и четиримата изследователи изграждат тази връзка, за да разберат по-добре нереципрочните системи.

Бифуркация

През 1845 г. Ферхюлст формулира закон, съдържащ ограничение на ръста на някои популации . Той обръща внимание на това, че всяка екологична ниша може да обезпечи съществуването на популацията само до определен максимален размер Х и че коефициента на прираста трябва да се снижава, когато размерите на популацията се приближават до X, т.е. коефициента на прираста става променлив. В резултат процесът се превръща в нелинеен, което коренно изменило динамичното му поведение.

Да споменем само най-важните резултати. Когато параметрите на ръста превишат 200%, става невъзможно да се достигне оптималната численост X. Когато популацията е малка, енергичния ръст неизменно води до превишаване оптималния размер, което предизвиква ответна реакция, в резултат което популацията намалява до размери, значително по-малки от X. След това се появяват устойчиви колебания между двата размера, по-големия и по-малкия.

Когато параметъра на ръста превиши 245%, настъпва по-нататъшно усложнение на поведението. Колебанията стават отначало между 4, след това 8, после 16 различни величини на численност и т. н. , докато за параметри, по-големи от 257%, не възникне хаос.

Уравнението на Фейгенбаум

До хаос системите могат стигнат по различни пътища. Един от тях е бифуркацията, която се изучава в теорията на бифуркацията.

Бифуркация (от лат. bifurcus – раздвоен) представлява процес на качествен преход от състояние на равновесие към хаос чрез много малки изменения, извършвани последователно.

Необходимо е да отбележим, че става качествено изменение на свойствата на системата, или катастрофичен скок. Моментът на скока (раздвоението при бифуркацията) става в точката на бифуркация.

Митчел Фейгенбаум (Feigenbaum) основно е анализирал логистическото уравнение, което описва динамиката на развитието на популациите:

Xn+1=CXn – С(Хn)2, където С е външен параметър.

Той открил, че при някои ограничения във всички подобни уравнения става преход от равновесно състояние към хаос.

Например, изолирано живее популация с определена численост Xn. След година се появява потомство с численост Xn+1. Ръстът на популация се описва с първия член на дясната част от уравнението (СХn), където коефициента С определя скоростта на ръста. Намаляването на животните (за сметка на пренаселеност, липса на храна и т.н.) се определя от втория, нелинеен член (С(Хn)2).

Резултатът дава следните изводи:

• при С < 1 популацията с ръст n измира;
• в областта 1 < С < 3числеността на популацията се приближава към постоянно значение Хо = 1 – 1/С, което е област на стационарни, фиксирани решения.
• При стойност C = 3 точката на бифуркация става отблъскваща фиксирана точка. От този момент функцията вече никога не схожда към една точка, а дотогава точката е привличаща, фиксирана;
• в диапазона 3 < С < 3.57 започват да се появяват бифуркации и разклонения на всяка крива на две. Тук функцията (числеността на популацията) се колебае между две стойности, лежащи на тези разклонения;
• при C > 3.57 областта се покрива от различни решения и поведението на системата става хаотично.

Изводът е заключителното състояние на еволюциониращите физически системи е състоянието на динамичен хаос.

Това откритие предизвикало невероятна активност на учените в много области на науката. Направени са огромно число експерименти, показващи, че този сценарий действително се наблюдава в много естествени системи. Това са и началото на турбулентността при флуидите, и нелинейните колебания в химическите или електрическите мрежи, и даже прехода от нормален ритъм на сърцето в заплашваща живота фибрилация.

На теорията това оказало не по-малко силно въздействие. Математиците все още се опитват до край да разберат тази неочаквана универсалност. Но, това което е най-важно е, че тя породила надеждата, че нелинейните явления подлежат на систематизация и научна класификация.

Повече може да прочетете в сайта "Бръснача на Окам" в статиите от раздела "Теория на хаоса-Основни понятия", а вложката е от статията "Дървото на Фейгенбаум или как се стига до хаос", 

След като намесват бифуркацията това означава, че учените трябва да мислят и за енергийния пейзаж. В статистическата механика енергийният пейзаж на една система показва как се формират енергийните промени в пространството. Например от потенциални към кинетични. При равновесие фазите на материята съответстват на минимумите - долините - на енергийния пейзаж.

"Но това тълкуване на фазите на материята изисква системата да стигне до тези минимуми", казва Фручарт.

Вители коментира, че може би най-важният аспект на новата работа е, че тя разкрива ограниченията на съществуващия математически апарат, който физиците и математиците използват, за да опишат системите.

Когато равновесието е даденост, статистическата механика рамкира поведението и явленията по отношение на минимизирането на енергията - тъй като не се добавя или губи енергия. Но когато една система е извън равновесие, „по необходимост вече не може да се опише с нашия познат език на енергията, но все още има преход между колективните състояния“, коментира Вители. Новият подход облекчава основното предположение, че за да се опише фазов преход, трябва да минимизирате енергията.

„Когато приемем, че няма реципрочност, вече не можем да дефинираме нашата енергия“, отбелязва Вители, „и трябва да преработим езика на тези преходи в езика на динамиката“.

В търсене на екзотични явления

Работата на четиримата учени има големи последици. За да демонстрират как техните идеи работят, изследователите анализират редица нереципрочни системи. Тъй като видовете фазови преходи, които са свързали с особени точки, не могат да бъдат описани от гледна точка на загубите на енергия, тези изменения на симетрията в особените точки могат да се появят само в нереципрочни системи. Това предполага, че отвъд реципрочността лежат редица явления в динамичните системи, които могат да бъдат описани с новата теоретична основа.

И сега, след като са положили основата, коментира Литълуд, учените започват да проучват колко широко може да се прилага. „Започваме да обобщаваме това за други динамични системи, които не смятахме, че имат същите свойства“.

Според Вители почти всяка динамична система с нереципрочно поведение би си струвала да се изследва с този нов подход. "Това наистина е стъпка към обща теория на колективните явления в системи, чиято динамика не се управлява от принципа на оптимизацията."

Литълуд споделя, че е силно въодушен от търсенето на фазови преходи в една от най-сложните динамични системи от всички - човешкия мозък.

„Следващата област е невронауката“, посочва той и уточнява, че невроните са „различни видове“, понякога възбудени, понякога потиснати. "Те са нереципрочни, естественно."

Това означава, че техните връзки и взаимодействия могат да бъдат точно моделирани с помощта на бифуркации и чрез търсене на фазови преходи, в които невроните се синхронизират и показват цикли.

„Това е наистина вълнуваща посока, която изследваме“, коментира Литълуд, „и математиката работи.“

И другите математици се вълнуват. Робърт Кон (Robert Kohn) от Института по математически науки Courant в Нюйоркския университет прогнозира, че работата може да има връзки с други математически теми - като турбуленцият или флуидни потоци - които изследователите все още не са изследвали. Може да се окаже, че нереципрочните системи показват фазови преходи или други пространствени модели, за които в момента липсва подходящ математически апарат.

„Тази работа може да е пълна с нови възможности и може би ще имаме нужда от нова математика“, коментира Кон. „Това е един вид същността на начина, по който математиката и физиката се свързват, и това е полезно и за двете дисциплини. Ето един пясъчник, който не сме забелязали досега, и ето списък с нещата, които може да направим.”

Справка: Fruchart, M., Hanai, R., Littlewood, P.B. et al. Non-reciprocal phase transitions. Nature 592, 363–369 (2021). https://doi.org/10.1038/s41586-021-03375-9

Източник: A New Theory for Systems That Defy Newton’s Third Law, Stephen Ornes, Quanta magazine